編者按：

　　文化是中國白酒所具備的重要屬性之一，其中更蘊(yùn)含了豐富的哲學(xué)思想，這使得中國白酒除了在物質(zhì)層面帶給飲用者以愉悅之外，更讓飲用者在精神層面獲得升華。

　　“大中有小，小中有大；新中有舊，舊中有新；死中有生，生中有死；寬中有窄，窄中有寬。”四川省委省政府決策咨詢委員會(huì)副主任、成都市社科聯(lián)主席、四川省酒類流通協(xié)會(huì)名譽(yù)會(huì)長、振興川酒首席經(jīng)濟(jì)學(xué)家、發(fā)展戰(zhàn)略顧問李后強(qiáng)在《寬窄論——人生啟迪與智慧》中的不少觀點(diǎn)對(duì)白酒行業(yè)有很強(qiáng)的借鑒意義。

　　《長江酒道》獲得李后強(qiáng)會(huì)長授權(quán)后將分期刊發(fā)其中的精彩論述。

　　導(dǎo)語：寬窄蘊(yùn)含深刻的哲理，特別是包含著豐富的美學(xué)、數(shù)學(xué)、心理學(xué)和物理學(xué)等知識(shí)。本期著重從幾何學(xué)概念，分析寬窄論在不同幾何學(xué)中的展現(xiàn)。

　　從歐式幾何到黎曼幾何

　　我們知道，寬窄是尺寸也是數(shù)值，是感覺也是智慧，是比較也是視角。著名詩人蘇東坡說過，“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”。

　　歐幾里得幾何簡稱“歐氏幾何”，是幾何學(xué)的一門分科。數(shù)學(xué)上，歐幾里得幾何是直線、平面和三維空間中常見的幾何，基于點(diǎn)線面假設(shè)。數(shù)學(xué)家也用這一術(shù)語表示具有相似性質(zhì)的高維幾何。

　　公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得把人們公認(rèn)的一些幾何知識(shí)作為定義和公理(公設(shè))，在此基礎(chǔ)上研究圖形的性質(zhì)，推導(dǎo)出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。

　　按所討論的圖形在平面上或空間中，又分別稱為“平面幾何”與“立體幾何”。流形是局部具有歐幾里得空間性質(zhì)的空間，流形在數(shù)學(xué)中用于描述幾何形體，物理上，經(jīng)典力學(xué)的相對(duì)空間和構(gòu)造廣義相對(duì)論的時(shí)空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實(shí)例。

　　非歐幾里得幾何是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義的非歐幾何是泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)；狹義的非歐幾何僅是指羅氏幾何；至于通常意義的非歐幾何，就是指橢圓幾何學(xué)。

　　歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)，頭四條公設(shè)分別為：

　　1. 過兩點(diǎn)能做且只能作一直線。 

　　2. 線段（有限直線）可以無限地延長。

　　3. 以任一點(diǎn)為圓心，任意長為半徑，可作一圓。

　　4. 任何直角都相等。

　　第五條公設(shè)說：同一平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則這兩直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。長期以來，數(shù)學(xué)家們懷疑第五公設(shè)到底能不能證明？到了十九世紀(jì)二十年代，俄國喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過程中，提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論：

　　第一，第五公設(shè)不能被證明。

　　第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。

　　這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。

　　從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。羅巴切夫斯基幾何的公理系統(tǒng)和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內(nèi)，從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。

　　1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。

　　直到這時(shí)，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。

　　歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。

　　黎曼幾何是德國數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)》中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。

　　黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)（交點(diǎn)）。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。

　　黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。

　　近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋，恰恰與黎曼幾何的觀念是相似的。

　　此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。

　　寬窄的幾何學(xué)

　　從普通常識(shí)和直觀上講，寬窄是一個(gè)幾何學(xué)概念。但是，在不同幾何學(xué)中，寬窄不同。

　　歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼（球面）幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三種幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系。每個(gè)體系內(nèi)的各條公理之間沒有矛盾。因此這三種幾何都是正確的。

　　宏觀低速的牛頓物理學(xué)中，也就是在我們的日常生活中，我們所處的空間可以近似看成歐式空間；在涉及到廣義相對(duì)論效應(yīng)時(shí)，時(shí)空要用黎曼幾何刻畫。黎曼流形上的幾何學(xué)。

　　黎曼將曲面本身看成一個(gè)獨(dú)立的幾何實(shí)體，而不是把它僅僅看作歐幾里得空間中的一個(gè)幾何實(shí)體。他首先發(fā)展了空間的概念，提出了幾何學(xué)研究的對(duì)象應(yīng)是一種多重廣義量。黎曼幾何中的一個(gè)基本問題是微分形式的等價(jià)性問題。黎曼幾何與偏微分方程、多復(fù)變函數(shù)論、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科互相滲透，相互影響，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)中有重大作用。

　　研究黎曼幾何要知道這些概念：

　　1. 度量張量。

　　2. 黎曼流形。

　　3. 列維-奇維塔聯(lián)絡(luò)。

　　4. 曲率。

　　5. 曲率張量。

　　6. 李群。

　　E. 嘉當(dāng)在20世紀(jì)20年代開創(chuàng)并發(fā)展了外微分形式與活動(dòng)標(biāo)架法，建立了李群與黎曼幾何之間的聯(lián)系，從而為黎曼幾何的發(fā)展奠定重要基礎(chǔ)，并開辟了廣闊的園地，影響極其深遠(yuǎn)。并由此發(fā)展了線性聯(lián)絡(luò)及纖維叢的研究。

　　1915年，A.愛因斯坦運(yùn)用黎曼幾何和張量分析工具創(chuàng)立了新的引力理論——廣義相對(duì)論。使黎曼幾何（嚴(yán)格地說洛倫茲幾何）及其運(yùn)算方法（里奇算法）成為廣義相對(duì)論研究的有效數(shù)學(xué)工具。而相對(duì)論近年的發(fā)展則受到整體微分幾何的強(qiáng)烈影響。例如矢量叢和聯(lián)絡(luò)論構(gòu)成規(guī)范場（楊-米爾斯場）的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

　　數(shù)學(xué)上的黎曼幾何可以看作是歐式幾何的推廣。歐式幾何中的度量是零曲率的，而黎曼幾何研究更一般的度量，在不同的度量下，空間的曲率是不同的。

　　物理學(xué)中，牛頓力學(xué)粗略地說是建立在歐式空間上的。而廣義相對(duì)論里的時(shí)空是一個(gè)黎曼流形。物理時(shí)所說的“歐式幾何”有時(shí)候是指“牛頓時(shí)空觀”。微分幾何中，黎曼幾何研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關(guān)注于角度、弧線長度及體積，把每個(gè)微小部分加起來而得出整體的數(shù)量。